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第三节被试参数的条件估计
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认知诊断评价理论的优势就是能够给每个被试提供关于其知识发展状态详细的剖析信息。
现在被认为具有认知诊断功能的模型非常多，而且参数表现形式也是多样的，关于具有认知诊断功能的多维IRT模型的参数估计问题，本书将不涉及。
认知诊断模型的典型被试参数一般是关于被试在每个知识属性上的掌握状态，即属性掌握模式。
属性掌握模式是离散的，取值是有限的。
被试属性掌握模式的估计过程，就是在这些有限的取值范围内找到最合适的取值。
在本节内容中，题目得分只有两种可能，即答对记1分，答错记0分。
记被试的属性掌握模式为αj=（αj1，αj2，…，αjK），K为测验属性个数，测验测量的被试可能属性掌握模式共有2K种（假设每个属性的掌握状态只有两种，即掌握为1，和未掌握为0）。
假设测验属性关联矩阵Q矩阵已经定义。
为了方便下面介绍的3种属性掌握模式估计方法，我们仍以DINA模型为例。
同时，假设某个测验共考察了3个属性，包含6个测验项目，测验所对应的Q矩阵和具体的项目参数如表7-2所示。
假设某被试在测验中的得分向量为[110101]T。
表7-2测验Q矩阵及项目参数
一、经典条件估计
第一种被试参数估计方法，其实就是在项目参数已经确定的条件下，求被试项目反应概率的联合似然函数极大值点对应的被试参数。
因此，参数估计的第一步是构建联合似然函数，由于项目参数已经确定，这时构建如下的似然函数中仅含有被试参数这一类未知参数：
式子中，uj为被试j在所有项目上的作答反应模式，Pi（αj）为项目反应函数，xij为被试j在项目i上的得分，ξ为已知的项目参数。
然后，就是寻找能够使该似然函数达到极大值点的被试参数值。
对于取有限离散值的变量，最直接的办法就是穷尽有限的所有属性掌握模式，找到一种能够使该似然函数达到极大值点的模式。
根据DINA模型项目反应函数，下面具体说明用极大似然估计方法估计前面所提到被试的属性掌握模式的过程，如表7-3所示。
表7-3极大似然估计
从表7-3中可以很容易看出，当被试属性掌握模式估计值为模式5时，对应的似然函数值最大。
所以，根据被试的作答反应向量，该被试的属性掌握模式的极大似然估计值为[110]T。
二、极大后验估计
第二种被试参数估计方法是用极大后验估计（maximumaposteriori，MAP）方法来估计被试参数。
在统计学中，极大后验估计是在试验样本数据已知的情形下，获得对未知参数的点估计。
它与基于经典统计理论的极大似然估计方法非常相似，只是极大后验估计这种方法在构建似然函数时，要将未知参数的先验分布融合到似然函数式中。
所以，极大后验估计可以看作经过规则化（regularization）之后的极大似然估计。
现在的情形是已经有了试验样本数据，且项目参数已知，需要估计未知的被试参数。
按照经典统计理论构建的、关于被试在所有项目上作答模式的似然函数如式（7-34）所示：
式子中，M为题目量，xij表示被试在项目上的作答反应结果，取值为0或1，uj为被试j在所有项目上的作答反应模式，ξ为已确定的项目参数。
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